Homomorphismenraum/Evaluation an Basisvektoren/Isomorphismus/Linear/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}a,b\in K$ und ${}\varphi ,\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$. Dann ist

${}{\begin{aligned}F(a\varphi +b\psi )&=\left((a\varphi +b\psi )(v_{1}),\,\ldots ,\,(a\varphi +b\psi )(v_{n})\right)\\&=\left(a\varphi (v_{1})+b\psi (v_{1}),\,\ldots ,\,a\varphi (v_{n})+b\psi (v_{n})\right)\\&=a\left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{n})\right)+b\left(\psi (v_{1}),\,\ldots ,\,\psi (v_{n})\right)\\&=aF(\varphi )+bF(\psi )\end{aligned}}$

und somit liegt eine lineare Abbildung vor. Die Abbildung ist bijektiv aufgrund von Fakt,

da ein ${}n$-Tupel ${}\left(w_{1},\,\ldots ,\,w_{n}\right)\in W^{n}$ die willkürliche Vorgabe von Werten für die Basisvektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bedeutet.

Zur gelösten Aufgabe