Hyperbel/1 bis 2/Maximale zweistufige untere Treppenfunktion/Aufgabe/Lösung

1. Da ${}g$ streng fallend ist, besitzt die maximale untere Treppenfunktion auf jedem Teilintervall den Wert von ${}g$ an der oberen Intervallgrenze. Der Flächeninhalt der maximalen unteren Treppenfunktion ist also

   ${}h(x)={\left(x-1\right)}{\frac {1}{x}}+{\left(2-x\right)}{\frac {1}{2}}=2-{\frac {1}{x}}-{\frac {x}{2}}\,.$

2. Es ist

   ${}h'(x)={\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {1}{2}}\,.$

   Dies ist genau dann gleich ${}0$, wenn

   ${}{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}\,,$

   also

   ${}x={\sqrt {2}}\,$

   ist. Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt in diesem Punkt ein lokales isoliertes Maximum mit dem Wert

   ${}h({\sqrt {2}})=2-{\frac {1}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}=2-2{\frac {1}{\sqrt {2}}}=2-{\sqrt {2}}\,$

   vor, das auch global ist, da an den Grenzen der Wert ${}{\frac {1}{2}}$ ist.

Zur gelösten Aufgabe