Hyperbolische Fläche/Kreisscheibe/Zweischaliges Hyperboloid/Isometrie/Fakt/Beweis

Beweis

Die partiellen Ableitungen von ${}\theta$ sind

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial \theta }{\partial a}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})&={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}-2{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}+2a(2a)\\4ab\\-2a{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}+2a{\left(a^{2}+b^{2}+1\right)}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\frac {\partial \theta }{\partial b}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}&=4ab{\left(2a^{2}-2b^{2}+2\right)}+4ab{\left(-2a^{2}+2b^{2}+2\right)}-16ab\\&=0,\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}&={\left(2a^{2}-2b^{2}+2\right)}^{2}+16a^{2}b^{2}-16a^{2}\\&=4{\left({\left(a^{2}-b^{2}+1\right)}^{2}+4a^{2}b^{2}-4a^{2}\right)}\\&=4{\left(a^{4}+b^{4}+1-2a^{2}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}\right)}\\&=4{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2},\end{aligned}}$

und

$\left\langle {\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}=4{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}\,.$

Unter Berücksichtigung des Vorfaktors ${}{\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}$ stimmen die Werte der Skalarprodukte auf ${}Y$ mit den Skalarprodukten auf der Kreisscheibe überein.

Zur bewiesenen Aussage