Hyperbolische Kreisscheibe/Beispiel

Auf der offenen Kreisscheibe

$V=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$

definieren wir eine riemannsche Struktur durch die Bilinearform

$g(Q)(u,v)=\frac{4}{{(1-\Vert Q{\Vert }^2)}^2}⟨u,v⟩,$

das Standardskalarprodukt wird also mit der Funktion $\frac{4}{{(1-\Vert Q{\Vert }^2)}^2}$ umskaliert, die erste Fundamentalmatrix ist

$\frac{4}{{(1-\Vert Q{\Vert }^2)}^2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$