Hyperbolische Kreisscheibe/Beispiel

Auf der offenen Kreisscheibe

${}V={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\right\}}\,$

definieren wir eine riemannsche Struktur durch die Bilinearform

${}g(Q)(u,v)={\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}\left\langle u,v\right\rangle \,,$

das Standardskalarprodukt wird also mit der Funktion ${}{\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}$ umskaliert, die erste Fundamentalmatrix ist

${\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$