Hyperelliptische Gleichung/Grad 5/Dichte Perioden/Periodengitter/Aufgabe/Lösung

1. Wir setzen ${}u_{1}=\int _{\gamma }\omega _{1}$ und ${}u_{2}=\int _{\gamma }\omega _{2}$, beides sind positive reelle Zahlen. Nach Beispiel bzw. den entsprechenden Berechnungen für ${}\omega _{2}$ (siehe Aufgabe) ist

   ${}\operatorname {Per} {\left(\gamma \right)}=\left(u_{1},\,u_{2}\right)\,,$

   ${}\operatorname {Per} {\left(\theta \circ \gamma \right)}=\left(\zeta u_{1},\,\zeta ^{3}u_{2}\right)\,,$

   ${}\operatorname {Per} {\left(\theta ^{2}\circ \gamma \right)}=\left(\zeta ^{2}u_{1},\,\zeta ^{6}u_{2}\right)\,,$

   ${}\operatorname {Per} {\left(\theta ^{3}\circ \gamma \right)}=\left(\zeta ^{3}u_{1},\,\zeta u_{2}\right)\,.$

2. Wir behaupten, dass diese vier Periodenvektoren reell linear unabhängig sind und daher das Periodengitter das von diesen Vektoren erzeugte Gitter ist. Dazu betrachten wir die ${}{\mathbb {C} }$-lineare Abbildung

   ${\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},$

   die die Standardbasisvektoren auf ${}(u_{1},0)$ bzw. auf ${}(0,u_{1})$ abbildet. Es ist dann die reelle Unabhängigkeit von

   $\left(1,\,1\right),\,\left(\zeta ,\,\zeta ^{3}\right),\,\left(\zeta ^{2},\,\zeta ^{6}\right),\,\left(\zeta ^{3},\,\zeta \right)$

   zu zeigen. Wegen

   ${}\zeta ={\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\mathrm {i} }\,,$

   ${}\zeta ^{2}={\mathrm {i} }\,,$

   ${}\zeta ^{3}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\mathrm {i} }\,,$

   ${}\zeta ^{6}=-{\mathrm {i} }\,$

   geht es um die vier Vektoren (geänderte Reihenfolge)

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}.$

   Die Summe bzw. die Differenz der beiden hinteren Spaltenvektoren ergibt ${}{\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {2}}\\0\\{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$ bzw. ${}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}\\0\\-{\sqrt {2}}\\0\end{pmatrix}}$, woraus die lineare Unabhängigkeit ersichtlich ist.

Zur gelösten Aufgabe