Hyperelliptische Gleichung/Grad 5/Dichte Perioden/Beispiel

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}W^{2}=Z{\left(Z^{2}-1\right)}{\left(Z^{2}+1\right)}=Z{\left(Z^{4}-1\right)}=Z(Z-1)(Z+1)(Z-{\mathrm {i} })(Z+{\mathrm {i} })\,$

gegebene riemannsche Fläche ${}V$ und die vervollständigte (kompakte) Version ${}X$ davon, siehe Fakt und Fakt. Nach Fakt und Aufgabe ist ${}\omega ={\frac {dz}{w}}$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$ und nach Fakt ist das dort beschriebene Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ für ${}z$ reell zwischen ${}-1$ und ${}0$ positiv. Es sei ${}\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel, beispielsweise ${}\zeta =e^{\pi {\mathrm {i} }/4}$. Durch ${}Z\mapsto \zeta ^{2}Z$ und ${}W\mapsto \zeta W$ wird wegen

${}\zeta ^{2}Z{\left(\zeta ^{8}Z^{4}-1\right)}=\zeta ^{2}Z{\left(Z^{4}-1\right)}=\zeta ^{2}W^{2}={\left(\zeta W\right)}^{2}\,$

eine biholmorphe Abbildung ${}\theta$ auf ${}V$ und dann auch auf ${}X$ festgelegt. Nach Fakt gilt

${}\int _{\theta \circ \gamma }\omega =\int _{\gamma }\theta ^{*}\omega =\int _{\gamma }\zeta \omega =\zeta \int _{\gamma }\omega \,.$

Entsprechend sind die Wegintegrale zu ${}\omega$ längs der Wege ${}\theta ^{n}\circ g$ gleich ${}\zeta ^{n}\int _{\gamma }\omega$. Nach Fakt sind die Potenzen ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}$ linear unabhängig über ${}\mathbb {Q}$ und das überträgt sich auf die Perioden ${}\int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta \circ \gamma }\omega =\zeta \int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta ^{2}\circ \gamma }\omega =\zeta ^{2}\int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta ^{3}\circ \gamma }\omega =\zeta ^{3}\int _{\gamma }\omega$. Deshalb bilden die Perioden zu ${}\omega$ zu den verschiedenen geschlossenen Wegen eine Untergruppe vom Rang zumindest ${}4$ und daher ist die Periodengruppe kein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$. Aufgrund von Eigenschaften des achten Kreisteilungskörpers handelt es sich um eine dichte Untergruppe.