Hyperfläche/Glatt/Zusammenhängend/Orientierung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es ein Einheitsnormalenfeld, das eine Orientierung repräsentiert, und die Negation davon liefert eine weitere Orientierung. Diese nennen wir ${}G$ bzw. ${}-G$. Es sei nun

$N\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein beliebiges stetiges Einheitsnormalenfeld. Wir betrachten die Übereinstimmungsorte

${}Y_{1}={\left\{P\in Y\mid N(P)=G(P)\right\}}\,$

und

${}Y_{2}={\left\{P\in Y\mid N(P)=-G(P)\right\}}\,.$

Da es für jeden Punkt ${}P\in Y$ nur die beiden möglichen Werte

${}N(P)=\pm G(P)\,$

gibt, ist ${}Y$ die disjunkte Vereinigung von ${}Y_{1}$ und ${}Y_{2}$. Als Übereinstimmungsort von stetigen Funktionen sind ${}Y_{1}$ und ${}Y_{2}$ abgeschlossen (und damit auch offen in ${}Y$). Aufgrund des Zusammenhangs ist also ${}Y=Y_{1}$ oder ${}Y=Y_{2}$.

Zur bewiesenen Aussage