Hyperfläche/Jacobiideal/Einheitsideal/Fakt/Beweis

Beweis

Die Glattheit bedeutet im Fall eines Polynoms nach der Definition einfach, dass die partiellen Ableitungen im Punkt ${}P$ insgesamt eine surjektive Abbildung

$\left((\partial _{1}F)(P),\,\ldots ,\,(\partial _{1}F)(P)\right)\colon K^{n}\longrightarrow K$

definieren. Dies ist genau dann der Fall, wenn mindestens ein Eintrag ${}\neq 0$ ist. Im lokalen Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ bedeutet dies, dass nicht alle partiellen Ableitungen im maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ enthalten sind, was genau dann der Fall ist, wenn sie das Einheitsideal erzeugen.

Zur bewiesenen Aussage