Hyperfläche/Normalebene/Kurvenschnitt/Regularität/Fakt/Beweis

Beweis

Nach einer Verschiebung können wir annehmen, dass ${}P$ der Nullpunkt des Raumes ist. Das totale Differential

$\left(Dh\right)_{0}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

ist surjektiv und der Kern ist der Tangentialraum ${}T_{P}Y$. Die Ebene ${}E$ enthält Normalenvektoren ${}\neq 0$, die nicht zum Kern gehören. Daher ist das totale Differential der zusammengesetzten Abbildung

$E\supseteq E\cap W\longrightarrow W{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

im Punkt ${}0$ surjektiv und somit kann man den Satz über implizite Abbildungen anwenden und erhält, dass die Faser eine im Punkt ${}0$ reguläre Kurve ist.

Zur bewiesenen Aussage