Hyperfläche/Variablenprodukt/Milnorzahl/Beispiel

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form

${}F=X_{1}\cdots X_{n}\,$

gegebene Hyperfläche im Nullpunkt. Das Jacobiideal ist

${}J_{F}={\left(X_{2}\cdots X_{n},X_{1}X_{3}\cdots X_{n},\ldots ,X_{1}\cdots X_{n-1}\right)}\,.$

Wir betrachten den Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(0,\ldots ,0)}/J_{F}$. Bei ${}n=2$ ist dieser eindimensional und die Milnorzahl ist ${}1$. Bei ${}n\geq 3$ hingegen sind die Monome

$X_{1}^{n},\,n\in \mathbb {N} ,$

linear unabhängig und daher besitzt der Restklassenring die ${}K$-Dimension unendlich. Die Milnorzahl dieser Hyperfläche ist also unendlich.