Ideal/Binomische Formel/Aufgabe/Lösung

Zum Beweis der Inklusion $\subseteq$ sei $f\in (I+J{)}^n$. Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass

$f=f_1+f_2+\cdots +f_k,$

wobei

$f_{\ell }=c_{\ell 1}\cdot c_{\ell 2}\cdots c_{\ell n}$

mit $c_{\ell r}\in I+J$ ist. Dies bedeutet wiederum, dass

$c_{\ell r}=a_{\ell r}+b_{\ell r}$

mit $a_{\ell r}\in I$ und $b_{\ell r}\in J$ ist. Somit ist

$f_{\ell }=(a_{\ell 1}+b_{\ell 1})(a_{\ell 2}+b_{\ell 2})\cdots (a_{\ell n}+b_{\ell n}).$

Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit $n$ Faktoren, wobei $s$ Faktoren zu $I$ und $n-s$ Faktoren zu $J$ gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die $f_{\ell }$ und auch $f$.

Zum Beweis der Inklusion $\supseteq$ genügt es, die Inklusion $I^s{J}^{n-s}\subseteq (I+J{)}^n$ für jedes $s$ zu zeigen. Wegen $I,J\subseteq I+J$ ist aber sofort

$I^s{J}^{n-s}\subseteq (I+J{)}^s\cdot (I+J{)}^{n-s}=(I+J{)}^n.$

Zur gelösten Aufgabe