Ideal/Multiplikatives System/Zurück/Direkt/Aufgabe/Lösung

Wegen  $1\in S$  ist für  $f\in I$  direkt  $1\cdot f\in I$,  also  $f\in J$.  Somit umfasst $J$ das Ideal $I$ und enthält insbesondere die $0$. Es seien  $f_1,f_2\in J$.  Dann gibt es  $s_1,s_2\in S$  mit  $s_1{f}_1,s_2{f}_2\in I$.  Da $I$ ein Ideal ist, gehören auch  $s_1{s}_2{f}_1,s_1{s}_2{f}_2\in I$.  Somit ist

$s_1{s}_2(f_1+f_2)=s_1{s}_2{f}_1+s_1{s}_2{f}_2\in I$

und wegen  $s_1{s}_2\in S$  bedeutet dies, dass  $f_1+f_2\in J$  ist. Es sei nun  $f\in J$  und  $r\in R$.  Es gibt ein  $s\in S$  mit  $sf\in I$.  Dann ist auch  $rsf=srf\in I$  und somit ist auch

 $rf\in J$. 

Zur gelösten Aufgabe