Idempotente Elemente/Reduktion/Injektiv/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}e,f\in R$ idempotent und sei vorausgesetzt, dass ihre Bilder in der Reduktion gleich sind. Dann ist ${}e-f$ nilpotent in ${}R$. D.h. es gibt ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}(e-f)^{n}=0\,.$

Wir können annehmen, dass ${}n$ ungerade ist. Dann ist nach Binomi und unter Verwendung der Idempotenz

${}{\begin{aligned}0&=(e-f)^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}f^{n-k}\\&=e^{n}-f^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}e^{k}f^{n-k}\\&=e-f+\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}e^{k}f^{n-k}\\&=e-f+\sum _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}{\left(e^{k}f^{n-k}-e^{n-k}f^{k}\right)}\\&=e-f+\sum _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}{\left(ef-ef\right)}\\&=e-f.\end{aligned}}$

Also ist

${}e=f$.

Zur gelösten Aufgabe