Implizite Abbildung/Einführung/x+y^2+x^2y/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

${ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼f(x,y)=x+y^2+x^{2}y.$

Der Punkt $(0,0)$ gehört zur Faser über $0$, was kann man über die Gestalt der Faser durch diesen Punkt sagen? Die partiellen Ableitungen sind

$(1+2xy,2y+x^2).$

Im Nullpunkt ist dies $(1,0)$, der Kern dieser linearen Abbildung ist somit $ℝ(0,1)$. Die Gleichung

$x+y^2+x^{2}y=0$

lässt sich sowohl nach $x$ als auch nach $y$ in gewissen Umgebungen der $0$ auflösen. Für  $y=0$  muss  $x=0$  sein. Für  $y\ne 0$  ist

$x^2+\frac{x}{y}+y=0$

bzw. (für $y\le \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$)

$x=\pm \sqrt{\frac{1-4y^3}{4y^2}}-\frac{1}{2y}.$

Dabei konvergiert die Lösung

$x_1(y)=\sqrt{\frac{1-4y^3}{4y^2}}-\frac{1}{2y}=\frac{\sqrt{1-4y^3}-1}{2y}$

für $y\to 0$ gegen $(0,0)$, die Lösung

$x_2(y)=-\sqrt{\frac{1-4y^3}{4y^2}}-\frac{1}{2y}=\frac{-\sqrt{1-4y^3}-1}{2y}$

divergiert hingegen für $y\to 0$ gegen $-\mathrm{\infty }$. Daher liegt der Nullpunkt auf dem ersten „Lösungsstrang“, und in einer gewissen kleinen Umgebung des Nullpunktes wird die Faser vollständig durch den ersten Strang beschrieben (für $y=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ gehen diese beiden Stränge ineinander über). Die Auflösung nach $y$ ist durch

$y=\pm \sqrt{\frac{x^4}{4}-x}-\frac{x^2}{2}$

gegeben. Hier treffen sich beide Stränge im Nullpunkt. Die Projektion der Faser auf die $x$-Achse ist in keiner noch so kleinen Umgebung der $0$ eine Bijektion.