Implizite Abbildung/Einführung/x+y^2+x^2y/Beispiel

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Wir betrachten die Abbildung

Der Punkt gehört zur Faser über , was kann man über die Gestalt der Faser durch diesen Punkt sagen? Die partiellen Ableitungen sind

Im Nullpunkt ist dies , der Kern dieser linearen Abbildung ist somit . Die Gleichung

lässt sich sowohl nach als auch nach in gewissen Umgebungen der auflösen. Für muss sein. Für ist

bzw. (für )

Dabei konvergiert die Lösung

für gegen , die Lösung

divergiert hingegen für gegen . Daher liegt der Nullpunkt auf dem ersten „Lösungsstrang“, und in einer gewissen kleinen Umgebung des Nullpunktes wird die Faser vollständig durch den ersten Strang beschrieben (für gehen diese beiden Stränge ineinander über). Die Auflösung nach ist durch

gegeben. Hier treffen sich beide Stränge im Nullpunkt. Die Projektion der Faser auf die -Achse ist in keiner noch so kleinen Umgebung der eine Bijektion.