Implizite Abbildung/Einführung/x+y^2+x^2y/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x+y^{2}+x^{2}y.$

Der Punkt ${}(0,0)$ gehört zur Faser über ${}0$, was kann man über die Gestalt der Faser durch diesen Punkt sagen? Die partiellen Ableitungen sind

$(1+2xy,2y+x^{2}).$

Im Nullpunkt ist dies ${}(1,0)$, der Kern dieser linearen Abbildung ist somit ${}\mathbb {R} (0,1)$. Die Gleichung

${}x+y^{2}+x^{2}y=0\,$

lässt sich sowohl nach ${}x$ als auch nach ${}y$ in gewissen Umgebungen der ${}0$ auflösen. Für ${}y=0$ muss ${}x=0$ sein. Für ${}y\neq 0$ ist

${}x^{2}+{\frac {x}{y}}+y=0\,$

bzw. (für $y\leq {\sqrt[{3}]{\frac {1}{4}}}$)

${}x=\pm {\sqrt {\frac {1-4y^{3}}{4y^{2}}}}-{\frac {1}{2y}}\,.$

Dabei konvergiert die Lösung

${}x_{1}(y)={\sqrt {\frac {1-4y^{3}}{4y^{2}}}}-{\frac {1}{2y}}={\frac {{\sqrt {1-4y^{3}}}-1}{2y}}\,$

für ${}y\rightarrow 0$ gegen ${}(0,0)$, die Lösung

${}x_{1}(y)=-{\sqrt {\frac {1-4y^{3}}{4y^{2}}}}-{\frac {1}{2y}}={\frac {-{\sqrt {1-4y^{3}}}-1}{2y}}\,$

divergiert hingegen für ${}y\rightarrow 0$ gegen ${}-\infty$. Daher liegt der Nullpunkt auf dem ersten „Lösungsstrang“, und in einer gewissen kleinen Umgebung des Nullpunktes wird die Faser vollständig durch den ersten Strang beschrieben (für ${}y={\sqrt[{3}]{\frac {1}{4}}}$ gehen diese beiden Stränge ineinander über). Die Auflösung nach ${}y$ ist durch

${}y=\pm {\sqrt {{\frac {x^{4}}{4}}-x}}-{\frac {x^{2}}{2}}\,$

gegeben. Hier treffen sich beide Stränge im Nullpunkt. Die Projektion der Faser auf die ${}x$-Achse ist in keiner noch so kleinen Umgebung der ${}0$ eine Bijektion.