Integral/(x^2-1)^n/-1 bis 1/Rekursionsformel/Aufgabe

Wir betrachten die Polynome ${}f_{n}={\left(x^{2}-1\right)}^{n}$.

1. Zeige

   ${}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=-{\frac {2n}{2n+1}}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\,.$

2. Man folgere

   ${}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\,.$

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