Integral/(x^2-1)^n/-1 bis 1/Rekursionsformel/Aufgabe/Lösung

1. Wir schreiben

   ${}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}=1\cdot {\left(x^{2}-1\right)}^{n}\,$

   und erhalten mittels partieller Integration

   ${}{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx&=\left(x{\left(x^{2}-1\right)}^{n}\right)|_{-1}^{1}-2n\int _{-1}^{1}x^{2}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\\&=-2n\int _{-1}^{1}x^{2}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\\&=-2n\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx-2n\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\\&=-2n\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx-2n\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx.\end{aligned}}$

   Eine Umstellung ergibt

   ${}(2n+1)\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=-2n\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\,$

   und somit

   ${}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=-{\frac {2n}{2n+1}}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\,.$

2. Wir beweisen dies durch Induktion, der Fall ${}n=0$ ist klar. Unter Verwendung von Teil (1) ist

   ${}{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx&=-{\frac {2n}{2n+1}}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\\&=-{\frac {2n}{2n+1}}\cdot (-1)^{n-1}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n-1}((n-1)!)}{(2n-1)(2n-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&=(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe