Integrale/Wegintegrale/Riemannsche Fläche/Bemerkung

Eine rationale Funktion in ${}x$ und in ${}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ lässt sich unter Verwendung von gewissen Standardsubstitutionen elementar integrieren, siehe Fakt. Beispielsweise ist mit ${}x=\sin s$

${}\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int {\frac {\sin s}{\sqrt {1-\sin ^{2}s}}}d\sin s=\int {\frac {\sin s\cos s}{\sqrt {\cos ^{2}s}}}ds=\int \sin sds\,.$

Eine solche Situation kann man auffassen als eine rationale Funktion ${}R(x,y)$ in zwei Variablen ${}x$ und ${}y$, wobei zusätzlich zwischen den Variablen die algebraische Beziehung ${}y^{2}=ax^{2}+bx+c$ besteht.

Es gibt eine Reihe von geometrisch relevanten Problemen, die auf ähnliche Integrale führen, wobei allerdings keine algebraische Beziehung zwischen den Variablen vom Grad ${}2$, sondern von höherem Grad vorliegt. Die Berechnung der Länge einer Ellipse oder einer sogenannten Lemniskate (siehe Beispiel) führt zu Integralen der Form ${}\int {\frac {\sqrt {g(x)}}{1-x^{2}}}$ mit einem Polynom ${}g(x)$ vom Grad ${}4$ bzw. ${}\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}$. Diese Integrale sind nicht elementar integrierbar, ihre Behandlung erfordert neuartige Ansätze, die sich in der Theorie von Wegintegralen auf riemannschen Flächen niederschlagen.