Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt

Es sei $f$ eine rationale Funktion in $x$ und in $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$ (mit $a,b,c\in ℝ,a\ne 0$ und so, dass $a{x}^2+bx+c$ auch positive Werte annimmt), schreiben kann, d.h. es gebe Polynome in zwei Variablen, $P,Q\in ℝ[X,Y]$, $Q\ne 0$, derart, dass

$f(x)=\frac{P(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})}{Q(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})}$

gilt.

Dann kann man durch eine Substitution der Form

$x=\alpha t+\beta$

($\alpha ,\beta \in ℝ,\alpha \ne 0$), die Berechnung von $\int f(x)dx$ auf ein Integral der Form

1. $\int R(t,\sqrt{1-t^2})dt$,
2. $\int R(t,\sqrt{t^2-1})dt$,
3. $\int R(t,\sqrt{t^2+1})dt$,

zurückführen, wobei $R$ wieder eine rationale Funktion in zwei Variablen ist.

In diesen drei Fällen führen die Substitutionen

1.  $t=\sin s$, 
2.  $t=\cosh s$, 
3.  $t=\sinh s$, 

auf das Integral über eine rationale Funktion in trigonometrischen Funktionen bzw. in Hyperbelfunktionen

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen