Integration/e^3x durch e^x-e^-x/Aufgabe/Lösung

Wir führen die Substitution ${}x=\ln t$ durch und müssen dann für

${}g(t)={\frac {t^{3}}{t-t^{-1}}}\cdot {\frac {1}{t}}={\frac {t^{3}}{t^{2}-1}}\,$

eine Stammfunktion finden ($t>1$). Division mit Rest ergibt

${}t^{3}=(t^{2}-1)t+t\,.$

Die Partialbruchzerlegung für

${\frac {t}{t^{2}-1}}$

führt auf

${}{\frac {t}{t^{2}-1}}={\frac {a}{t-1}}+{\frac {b}{t+1}}\,$

und auf

${}t=a(t+1)+b(t-1)=(a+b)t+a-b\,.$

Also ist

${}a=b={\frac {1}{2}}\,.$

Daher ist

${}g(t)=t+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t+1}}\,.$

Eine Stammfunktion davon ist

${\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}\ln \left(t-1\right)+{\frac {1}{2}}\ln \left(t+1\right).$

Rüchsubstitution ergibt für ${}f(x)$ die Stammfunktion

${\frac {1}{2}}e^{2x}+{\frac {1}{2}}\ln \left(e^{x}-1\right)+{\frac {1}{2}}\ln \left(e^{x}+1\right).$

Zur gelösten Aufgabe