Integration und partielle Differentiation/Vertauschbarkeit/Fakt

Vertauschbarkeit von Integration und partieller Differentiation

Es sei ${}I=[a,b]$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Abbildung, die in Richtung einer jeden Variablen ${}x_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, stetig partiell differenzierbar sei.

Dann ist die Abbildung

$U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt,$

partiell differenzierbar und es gilt

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(x\mapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt\right)}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(t,x)dt\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen