Integres affines Schema/Faktoriell/Picardgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}I\subseteq R$ ein Ideal, das invertierbar sei, und sei

${}X=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})\,$

eine offene Überdeckung derart, dass ${}IR_{f_{i}}$ ein Hauptideal ist. Es ist insbesondere zu jedem Primelement ${}p$ das Ideal ${}I_{(p)}\subseteq R_{(p)}$ ein Hauptideal und damit von der Form ${}p^{s_{p}}$, da ${}R_{(p)}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Dabei sind die ${}s_{p}$ nur für endlich viele Primelemente von ${}0$ verschieden. Zu einem Element ${}g\in I$, ${}g\neq 0$. gibt es nämlich nur endlich viele Primteiler und für die anderen Primelemente ${}q$ ist ${}g$ eine Einheit in ${}R_{(q)}$. Wir behaupten, dass ${}I$ mit dem von ${}h=\prod _{p}p^{s_{p}}$ erzeugten Hauptideal übereinstimmt. Da man die Gleichheit von Idealen lokal zu einer Überdeckung testen kann, können wir in ${}R_{f_{i}}$ argumentieren. Die Aussage folgt dann aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage