Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Rückübersetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben ${}g=hp^{r}$ mit dem maximal möglichen Exponenten ${}r$, den es nach Fakt gibt, und behaupten, dass ${}h$ ein Primelement oder eine Einheit ist. Wir betrachten die Situation, wo ${}h$ keine Einheit ist, und müssen ${}h$ als Primelement nachweisen. Es teile ${}h$ ein Produkt, sagen wir

${}hc=ab\,.$

Daraus ergibt sich in ${}R_{p}$, da ${}h$ wie ${}g$ prim in ${}R_{p}$ ist, dass ${}h$ einen der Faktoren in ${}R_{p}$ teilt. Es gibt also ein ${}d\in R$ mit

${}h{\frac {d}{p^{s}}}=a\,,$

also

${}hd=ap^{s}\,$

in ${}R$. Bei ${}s=0$ ist man fertig. Andernfalls teilt ${}p$, da es ${}h$ wegen der Maximalität des Exponenten nicht teilt, den anderen Faktor ${}d$ und so erhält man

${}h{\frac {d}{p}}=ap^{s-1}\,$

in ${}R$. Induktive Anwendung dieses Arguments liefert das Resultat.

Zur bewiesenen Aussage