Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Rückübersetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben $g = h p^{r}$ mit dem maximal möglichen Exponenten $r$ , den es nach Fakt gibt, und behaupten, dass $h$ ein Primelement oder eine Einheit ist. Wir betrachten die Situation, wo $h$ keine Einheit ist, und müssen $h$ als Primelement nachweisen. Es teile $h$ ein Produkt, sagen wir

h c = a b .

Daraus ergibt sich in $R_{p}$ , da $h$ wie $g$ prim in $R_{p}$ ist, dass $h$ einen der Faktoren in $R_{p}$ teilt. Es gibt also ein $d \in R$ mit

h \frac{d}{p^{s}} = a,

also

h d = a p^{s}

in $R$ . Bei $s = 0$ ist man fertig. Andernfalls teilt $p$ , da es $h$ wegen der Maximalität des Exponenten nicht teilt, den anderen Faktor $d$ und so erhält man

h \frac{d}{p} = a p^{s - 1}

in $R$ . Induktive Anwendung dieses Arguments liefert das Resultat.

Zur bewiesenen Aussage