Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\sigma \in G$ und ${}f\in S$. Es sei

${}0=f^{n}+r_{n-1}f^{n-1}+\cdots +r_{2}f^{2}+r_{1}f+r_{0}\,$

eine Ganzheitsgleichung für ${}f$ über ${}R$. Dann ist

${}{\begin{aligned}0&=\sigma {\left(f^{n}+r_{n-1}f^{n-1}+\cdots +r_{2}f^{2}+r_{1}f+r_{0}\right)}\\&=\sigma (f)^{n}+\sigma (r_{n-1})\sigma (f)^{n-1}+\cdots +\sigma (r_{2})\sigma (f)^{2}+\sigma (r_{1})\sigma (f)+\sigma (r_{0})\\&=\sigma (f)^{n}+r_{n-1}\sigma (f)^{n-1}+\cdots +r_{2}\sigma (f)^{2}+r_{1}\sigma (f)+r_{0}\end{aligned}}$

und somit erfüllt auch ${}\sigma (f)$ eine Ganzheitsgleichung über ${}R$, also ${}\sigma (f)\in S$. Deshalb lässt sich ${}\sigma$ zu einer Abbildung von ${}S$ nach ${}S$ einschränken.

Die Gleichheit ${}S\cap K=R$ ist klar, da ${}R$ als normal vorausgesetzt wird. Deshalb ist

${}S^{G}\subseteq S\cap L^{G}=S\cap K=R\,,$

die umgekehrte Inklusion ${}R\subseteq S^{G}$ ist klar.

Zur bewiesenen Aussage