Integritätsbereich/Quotientenkörper/Lokalisierungen/Durchschnitt/Fakt/Beweis

Beweis

Die Inklusionen ${}\subseteq$ sind klar. Zu ${}q\in Q(R)$ betrachten wir das Nennerideal

${}{\mathfrak {a}}={\left\{f\in R\mid fq\in R\right\}}\,.$

Wenn ${}q$ nicht zu ${}R$ gehört, so ist das Nennerideal nicht das Einheitsideal. Dann gibt es auch ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$. Aus ${}q\in R_{\mathfrak {m}}$ würde sich direkt ein Widerspruch ergeben.

Zur bewiesenen Aussage