Intervallschachtelung/Aufteilungsvorschrift/1/Aufgabe/Lösung

1. Das zweite Intervall ist $[\frac{77}{100},\frac{78}{100}]$.
2. Die $n$-te untere Intervallgrenze ist

   $a_n=\sum _{i=1}^n\frac{7}{10^i}$

   und die $n$-te obere Intervallgrenze ist entsprechend, da das $n$-te Intervall die Länge $\frac{1}{10^n}$ besitzt,

   $\begin{array}{cc}{b}_n& =a_n+\frac{1}{10^n}\\ & =\sum _{i=1}^n\frac{7}{10^i}+\frac{1}{10^n}\\ & =\sum _{i=1}^{n-1}\frac{7}{10^i}+\frac{8}{10^n}.\end{array}$

   Die Formel für $a_n$ beweist man durch Induktion über $n$, bei  $n=1$  ist sie richtig (bei $n=0$ auch, da die leere Summe als $0$ zu interpretieren ist). Zum Nachweis des Induktionsschrittes kann man vom Intervall

   $[a_n,b_n]=[\sum _{i=1}^n\frac{7}{10^i},\sum _{i=1}^n\frac{7}{10^i}+\frac{1}{10^n}]$

   ausgehen. Die Länge des Folgeintervalls ist ein Zehntel davon, also $\frac{1}{10^{n+1}}$, und da man das achte nehmen muss, muss man $7\cdot \frac{1}{10^{n+1}}$ zur alten unteren Grenze dazuaddieren.

3. Wir behaupten

   $c=\frac{7}{9}.$

   Wenn man nämlich die schriftliche Division $7:9$ durchführt, so erhält man wegen

   $70=7\cdot 9+7,$

   dass sämtliche Dezimalziffern nach dem Komma gleich $7$ sind. Nach Fakt ist daher

   $\sum _{i=0}^{n}7\cdot 10^{-i}\le \frac{7}{9}<\sum _{i=0}^{n}7\cdot 10^{-i}+10^{-n}.$

   Dies bedeutet genau die Zugehörigkeit zu den angegebenen Intervallen.

Zur gelösten Aufgabe