Intervallschachtelung/Aufteilungsvorschrift/1/Aufgabe/Lösung

1. Das zweite Intervall ist ${}[{\frac {77}{100}},{\frac {78}{100}}]$.
2. Die ${}n$-te untere Intervallgrenze ist

   ${}a_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {7}{10^{i}}}\,$

   und die ${}n$-te obere Intervallgrenze ist entsprechend, da das ${}n$-te Intervall die Länge ${}{\frac {1}{10^{n}}}$ besitzt,

   ${}{\begin{aligned}b_{n}&=a_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {7}{10^{i}}}+{\frac {1}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {7}{10^{i}}}+{\frac {8}{10^{n}}}.\end{aligned}}$

   Die Formel für ${}a_{n}$ beweist man durch Induktion über ${}n$, bei ${}n=1$ ist sie richtig (bei ${}n=0$ auch, da die leere Summe als ${}0$ zu interpretieren ist). Zum Nachweis des Induktionsschrittes kann man vom Intervall

   ${}[a_{n},b_{n}]=[\sum _{i=1}^{n}{\frac {7}{10^{i}}},\sum _{i=1}^{n}{\frac {7}{10^{i}}}+{\frac {1}{10^{n}}}]\,$

   ausgehen. Die Länge des Folgeintervalls ist ein Zehntel davon, also ${}{\frac {1}{10^{n+1}}}$, und da man das achte nehmen muss, muss man ${}7\cdot {\frac {1}{10^{n+1}}}$ zur alten unteren Grenze dazuaddieren.

3. Wir behaupten

   ${}c={\frac {7}{9}}\,.$

   Wenn man nämlich die schriftliche Division ${}7:9$ durchführt, so erhält man wegen

   ${}70=7\cdot 9+7\,,$

   dass sämtliche Dezimalziffern nach dem Komma gleich ${}7$ sind. Nach Fakt ist daher

   ${}\sum _{i=0}^{n}7\cdot 10^{-i}\leq {\frac {7}{9}}<\sum _{i=0}^{n}7\cdot 10^{-i}+10^{-n}\,.$

   Dies bedeutet genau die Zugehörigkeit zu den angegebenen Intervallen.

Zur gelösten Aufgabe