Intervallschachtelung/Aufteilungsvorschrift/1/Aufgabe/Lösung

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  1. Das zweite Intervall ist .
  2. Die -te untere Intervallgrenze ist

    und die -te obere Intervallgrenze ist entsprechend, da das -te Intervall die Länge besitzt,

    Die Formel für beweist man durch Induktion über , bei ist sie richtig (bei auch, da die leere Summe als zu interpretieren ist). Zum Nachweis des Induktionsschrittes kann man vom Intervall

    ausgehen. Die Länge des Folgeintervalls ist ein Zehntel davon, also , und da man das achte nehmen muss, muss man zur alten unteren Grenze dazuaddieren.

  3. Wir behaupten

    Wenn man nämlich die schriftliche Division durchführt, so erhält man wegen

    dass sämtliche Dezimalziffern nach dem Komma gleich sind. Nach Fakt ist daher

    Dies bedeutet genau die Zugehörigkeit zu den angegebenen Intervallen.

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