Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen.

Dann ist

${}x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$

die Dezimalbruchfolge zu ${}{\frac {a}{b}}$. Insbesondere ist für jedes ${}n\in \mathbb {N}$

${}\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\leq {\frac {a}{b}}<\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}+10^{-n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen