Intervallschachtelung/Aufteilungsvorschrift/3/Aufgabe/Lösung

1. Das im ersten Schritt konstruierte Intervall ist ${}[{\frac {2}{3}},1]$ (mit der Länge ${}{\frac {1}{3}}$). Dessen Unterteilung in fünf gleichlange Teile ist durch

   $[{\frac {2}{3}}+{\frac {i}{15}},{\frac {2}{3}}+{\frac {i+1}{15}}],\,i=0,1,2,3,4,$

   gegeben. Das vierte Teilintervall davon ist

   ${}[{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{15}},{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}]=[{\frac {10}{15}}+{\frac {3}{15}},{\frac {10}{15}}+{\frac {4}{15}}]=[{\frac {13}{15}},{\frac {14}{15}}]\,.$

2. Teile das Vorgängerintervall in ${}15$ gleichlange Teile und nehme davon das ${}14.$-te Teilintervall.
3. Bei der schriftlichen Division ${}13:15$ ergeben sich die Anfangsziffern ${}0,86$, bei der schriftlichen Division ${}14:15$ ergeben sich die Anfangsziffern ${}0,93$. Daher ist das Intervall ${}[0,87\,,\,0,88]$ in ${}I_{2}$ enthalten (also ${}a=87$).
4. Die Länge des Intervalls ${}I_{2k}$ ist ${}{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{k}$, da ja in jedem Doppelschritt das Vorgängerintervall in ${}15$ Teile zerlegt wird und eins davon genommen wird. Es sei ${}a_{2k}$ die untere Intervallgrenze von ${}I_{2k}$. Dann besteht der rekursive Zusammenhang

   ${}a_{2(k+1)}=a_{2k}+13\cdot {\left({\frac {1}{15}}\right)}^{k+1}\,.$

   Somit ist

   ${}a_{2k}=13\cdot {\left({\frac {1}{15}}+{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{k}\right)}=13\cdot {\left(\sum _{i=1}^{k}{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{i}\right)}\,.$

5. (und gleichzeitig (6)) Es handelt sich um ${}{\frac {13}{14}}$. Wenn man nämlich im ${}15$-er System die Division ${}13:14$ durchführt, so erhält man zuerst eine ${}0$. Die Division mit Rest zur Berechnung der nächsten Ziffer ergibt

   ${}15\cdot 13=13\cdot 14+13\,.$

   Die erste Nachkommaziffer ist also ${}13$ und der Rest ist ebenfalls ${}13$. Damit wiederholt sich in der schriftlichen Division alles und es ergibt sich diejenige Zahl, bei der in der Ziffernentwicklung zur Basis ${}15$ (die Vorkammaziffern ${}0$ sind und) an jeder Nachkommastelle die Ziffer für ${}13$ steht. Insbesondere ist die Periodenlänge gleich ${}1$. Nach (dem analogen Resultat zur Basis ${}15$ zu) Fakt ist somit

   ${}a_{2k}=\sum _{i=1}^{k}13\cdot 15^{-i}\leq {\frac {13}{14}}<\sum _{i=1}^{k}13\cdot 15^{-i}+15^{-k}=a_{2k}+15^{-k}\,,$

   was die Grenzen des Intervalls ${}I_{2k}$ sind.

Zur gelösten Aufgabe