Intervallschachtelung/Aufteilungsvorschrift/3/Aufgabe/Lösung

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  1. Das im ersten Schritt konstruierte Intervall ist (mit der Länge ). Dessen Unterteilung in fünf gleichlange Teile ist durch

    gegeben. Das vierte Teilintervall davon ist

  2. Teile das Vorgängerintervall in gleichlange Teile und nehme davon das -te Teilintervall.
  3. Bei der schriftlichen Division ergeben sich die Anfangsziffern , bei der schriftlichen Division ergeben sich die Anfangsziffern . Daher ist das Intervall in enthalten (also ).
  4. Die Länge des Intervalls ist , da ja in jedem Doppelschritt das Vorgängerintervall in Teile zerlegt wird und eins davon genommen wird. Es sei die untere Intervallgrenze von . Dann besteht der rekursive Zusammenhang

    Somit ist

  5. (und gleichzeitig (6)) Es handelt sich um . Wenn man nämlich im -er System die Division durchführt, so erhält man zuerst eine . Die Division mit Rest zur Berechnung der nächsten Ziffer ergibt

    Die erste Nachkommaziffer ist also und der Rest ist ebenfalls . Damit wiederholt sich in der schriftlichen Division alles und es ergibt sich diejenige Zahl, bei der in der Ziffernentwicklung zur Basis (die Vorkammaziffern sind und) an jeder Nachkommastelle die Ziffer für steht. Insbesondere ist die Periodenlänge gleich . Nach (dem analogen Resultat zur Basis zu) Fakt ist somit

    was die Grenzen des Intervalls sind.

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