Beweis
Wegen
ist klar, dass
-
![{\displaystyle {}a_{n}<a_{n}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}=b_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f689c40ea1afdb49d550e6304b230598d862d37)
ist, so dass also wirklich Intervalle vorliegen.
Um zu zeigen, dass die Intervalle ineinander liegen, zeigen wir, dass die unteren Grenzen wachsend und die oberen Grenzen fallend sind. Wir betrachten zuerst
.
Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung
gilt
-
![{\displaystyle {}{\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\geq 1-n{\frac {1}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8982c665d2fc285c778b796a2d2dc19674e1f96)
Dies schreiben wir als
-
![{\displaystyle {}{\frac {n-1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}{\left({\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1253f808f5c567ac69a410e583bb974f56c65c35)
Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit
(es sei
.)
die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}a_{n-1}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n-1}\leq {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}=a_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552babb48ef7075bb717002bd0724f41ecebe9ec)
Für die oberen Intervallgrenzen
ergibt die Bernoullische Ungleichung die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}{\left(1+{\frac {1}{n^{2}-1}}\right)}^{n}\geq 1+{\frac {n}{n^{2}-1}}\geq 1+{\frac {1}{n}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f74eae975ec188444aa83309d9ad69cc998b05b)
Daraus folgt
-
![{\displaystyle {}1+{\frac {1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}}{n^{2}-1}}\right)}^{n}={\left({\frac {n}{n-1}}\cdot {\frac {n}{n+1}}\right)}^{n}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n}\left({\frac {n}{n+1}}\right)}^{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372e9358b7c66bacc1a2812cd837bc9dbdb2fac1)
Durch beidseitige Multiplikation mit
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}b_{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n+1}\leq {\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}=b_{n-1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf34994cfb9f52a386039a14fa72869a19f04b3)
Wir betrachten schließlich die Intervalllängen. Diese sind
-
![{\displaystyle {}b_{n}-a_{n}=a_{n}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}-a_{n}=a_{n}{\frac {1}{n}}\leq {\frac {b_{1}}{n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7ede39de2c0b245f9a0a7103e2c76ab645c251)
und konvergieren somit gegen
.
Also liegt insgesamt eine Intervallschachtelung vor.