Beweis
Wegen
ist klar, dass
-
ist, sodass also wirklich Intervalle vorliegen.
Um zu zeigen, dass die Intervalle ineinander liegen, zeigen wir, dass die unteren Grenzen wachsend und die oberen Grenzen fallend sind. Wir betrachten zuerst .
Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung
gilt
-
Dies schreiben wir als
-
Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit
(es sei
.)
die Abschätzung
-
Für die oberen Intervallgrenzen ergibt die Bernoullische Ungleichung die Abschätzung
-
Daraus folgt
-
Durch beidseitige Multiplikation mit ergibt sich
-
Wir betrachten schließlich die Intervalllängen. Diese sind
-
und konvergieren somit gegen .
Also liegt insgesamt eine Intervallschachtelung vor.