Intervallschachtelung/K/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

1. Die Reflexivität (man nehme ${}n=m$) und die Symmetrie sind klar. Zum Nachweis der Transitivität seien ${}I_{n}$, ${}J_{n}$ und ${}K_{n}$ Intervallschachtelungen, wobei die beiden vorderen und die beiden hinteren zueinander verfeinerungsäquivalent seien. Es ist zu zeigen, dass auch ${}I_{n}$ zu ${}K_{n}$ verfeinerungsäquivalent ist. Es sei dazu ein ${}I_{m}$ gegeben. Nach Voraussetzung gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}J_{n}\subseteq I_{m}$. Dazu gibt es wiederum ein ${}\ell$ mit ${}K_{\ell }\subseteq J_{n}$, also insgesamt ${}K_{\ell }\subseteq I_{m}$. Die umgekehrte Bedingung an die Verfeinerungsäquivalenz wird genauso bewiesen.
2. Es sei ${}x$ die durch die Intervallschachtelung ${}I_{n}$ festgelegte reelle Zahl, also

   ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=\{x\}\,.$

   Es sei ${}J_{n}$ eine zu ${}I_{n}$ verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelung und ${}J_{n}$ ein Intervall daraus. Nach Voraussetzung gibt es ein ${}k$ mit ${}I_{k}\subseteq J_{n}$ und daher ist

   ${}x\in J_{n}\,,$

   da es ja zu allen ${}I_{k}$ gehört. Also ist ${}x$ auch die von ${}J_{n}$ festgelegte Zahl.

3. Wir betrachten die beiden Intervallschachtelungen

   ${}I_{n}=[0,{\frac {1}{n}}]\,$

   und

   ${}J_{n}=[-{\frac {1}{n}},0]\,$

   (für ${}n=0$ seien die Intervalle beispielsweise durch ${}[-1,1]$ definiert). Beide Intervallschachtelungen legen die ${}0$ fest. Sie sind aber nicht verfeinerungsäquivalent, da

   ${}J_{n}\not \subseteq I_{1}\,$

   für alle ${}n$ gilt.

Zur gelösten Aufgabe