Intervallschachtelung/K/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

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  1. Die Reflexivität (man nehme ) und die Symmetrie sind klar. Zum Nachweis der Transitivität seien , und Intervallschachtelungen, wobei die beiden vorderen und die beiden hinteren zueinander verfeinerungsäquivalent seien. Es ist zu zeigen, dass auch zu verfeinerungsäquivalent ist. Sei dazu ein gegeben. Nach Voraussetzung gibt es ein mit . Dazu gibt es wiederum ein mit , also insgesamt . Die umgekehrte Bedingung an die Verfeinerungsäquivalenz wird genauso bewiesen.
  2. Es sei die durch die Intervallschachtelung festgelegte reelle Zahl, also

    Es sei eine zu verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelung und ein Intervall daraus. Nach Voraussetzung gibt es ein mit und daher ist

    da es ja zu allen gehört. Also ist auch die von festgelegte Zahl.

  3. Wir betrachten die beiden Intervallschachtelungen

    und

    (für seien die Intervalle beispielsweise durch definiert). Beide Intervallschachtelungen legen die fest. Sie sind aber nicht verfeinerungsäquivalent, da

    für alle gilt.

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