Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn  ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$  ist und  ${}f\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}$,  so ist auch  ${}f=f\sigma \in {\mathfrak {p}}$,  also ist

${}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=R^{G}\cap {\mathfrak {p}}=R^{G}\cap {\mathfrak {q}}=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})\,.$

Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.

Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über  ${}{\mathfrak {r}}\in \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$  und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Element dieser Faser, welches es nach Fakt gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ der Faser in der Bahn durch ${}{\mathfrak {p}}$ liegt, dass es also ein  ${}\sigma \in G$  mit  ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$  gibt.  Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal der Faser über ${}{\mathfrak {r}}$, das aber nicht zur Bahn durch ${}{\mathfrak {p}}$ gehört. Aus  ${}{\mathfrak {q}}\neq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$  (für alle ${}\sigma \in G$) folgt  ${}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$,  da andernfalls die Faser im Widerspruch zu Fakt nicht nulldimensional wäre. Nach Fakt ist dann auch

${}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \bigcup _{\sigma \in G}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=:T\,.$

Es sei ${}f\in {\mathfrak {q}}$, ${}f\notin T$. Die Menge ${}T$ wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch  ${}f\sigma \notin T$.  Somit ist auch  ${}g=\prod _{\sigma \in G}f\sigma \notin T$.  Andererseits ist aber  ${}g\in R^{G}$  und  ${}g\in {\mathfrak {q}}$,  also ergibt sich der Widerspruch  ${}g\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {r}}\subseteq {\mathfrak {p}}\subseteq T$. 

Zur bewiesenen Aussage