Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn  ${\sigma }^{\ast }(𝔭)={\sigma }^{-1}(𝔭)=𝔮$  ist und  $f\in R^G\cap 𝔮$,  so ist auch  $f=f\sigma \in 𝔭$,  also ist

${\iota }^{\ast }(𝔭)=R^G\cap 𝔭=R^G\cap 𝔮={\iota }^{\ast }(𝔮).$

Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.

Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über  $𝔯\in \mathrm{Spek}\left(R^G\right)$  und es sei $𝔭$ ein Element dieser Faser, welches es nach Fakt gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal $𝔮$ der Faser in der Bahn durch $𝔭$ liegt, dass es also ein  $\sigma \in G$  mit  ${\sigma }^{\ast }(𝔭)=𝔮$  gibt.  Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei $𝔮$ ein Primideal der Faser über $𝔯$, das aber nicht zur Bahn durch $𝔭$ gehört. Aus  $𝔮\ne {\sigma }^{\ast }(𝔭)$  (für alle $\sigma \in G$) folgt  $𝔮\subseteq ̸{\sigma }^{\ast }(𝔭)$,  da andernfalls die Faser im Widerspruch zu Fakt nicht nulldimensional wäre. Nach Fakt ist dann auch

$𝔮\subseteq ̸\bigcup _{\sigma \in G}{\sigma }^{\ast }(𝔭)=:T.$

Es sei $f\in 𝔮$, $f\notin T$. Die Menge $T$ wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch  $f\sigma \notin T$.  Somit ist auch  $g=\prod _{\sigma \in G}f\sigma \notin T$.  Andererseits ist aber  $g\in R^G$  und  $g\in 𝔮$,  also ergibt sich der Widerspruch  $g\in R^G\cap 𝔮=𝔯\subseteq 𝔭\subseteq T$. 

Zur bewiesenen Aussage