Invariantenring/Endliche Gruppe/Kein Charakter in den Einheiten/Faktoriell/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass $F\in R^G$, $F\ne 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Es sei

$F=F_1^{r_1}\cdots F_n^{r_n}$

die Zerlegung in $R$ in irreduzible Faktoren, wobei die $F_i$ paarweise nicht (in $R$) assoziiert seien. Für jedes  $\sigma \in G$  ist dann auch

$F=F\sigma ={\left(F_1\sigma \right)}^{r_1}\cdots {\left(F_n\sigma \right)}^{r_n}.$

Wegen der Faktorialität von $R$ muss diese Zerlegung mit der ursprünglichen Faktorzerlegung übereinstimmen, d.h. zu jedem $i$ gibt es ein $j$ und eine Einheit  $a_{ij}\in R^{\times }$  mit

$F_i\sigma =a_{ij}{F}_j.$

Es sei

$\{1,\dots ,n\}=\underset{j\in J}{⨄}{I}_j$

die disjunkte Zerlegung der Indexmenge, bei der zwei Indizes $i,j$ in der gleichen Teilmenge landen, wenn es ein  $\sigma \in G$  derart gibt, dass $F_i\sigma$ und $F_j$ assoziiert sind. Wir setzen

$H_j:=\prod _{i\in I_j}{F}_i.$

Insbesondere ist dann

$F=\prod _{j\in J}{H}_j^{r_j}.$

Es ist

$H_j\sigma =\left(\prod _{i\in I_j}{F}_i\right)\sigma =\prod _{i\in I_j}\left(F_i\sigma \right)=a_j(\sigma )\prod _{i\in I_j}{F}_i=a_j(\sigma )H_j$

mit einer (von $\sigma$ abhängigen) Einheit

$a_j(\sigma )=\frac{H_j\sigma }{H_j}.$

An dieser letzten Darstellung sieht man, dass die Zuordnung $G⟶R^{\times }$, $\sigma ⟼a_j(\sigma )$, ein Charakter ist. Nach Voraussetzung ist dieser also trivial, und damit sind die $H_j$ invariant. Somit ist

$F=\prod _{j\in J}{H}_j$

eine Faktorzerlegung in $R^G$. Die $H_j$ sind dabei irreduzibel in $R^G$, da eine Faktorzerlegung

 $H_j=AB$  sofort zu einer Zerlegung von  $H_j=\prod _{i\in I_j}{F}_i$  in Teilprodukte führt, die aber wegen der Wahl der $I_j$ nicht invariant sein können. Wenn  $F=\prod _{\ell }{A}_{\ell }$  eine beliebige Zerlegung von $F$ in irreduzible Faktoren  $A_{\ell }\in R^G$  ist, so sind die $A_{\ell }$, aufgefasst in $R$, Produkte gewisser $F_i$, und wegen der Wahl der $I_j$ wird $A_{\ell }$ sogar von einem $H_j$ (in $R$ und in $R^G$) geteilt. Es liegt also eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren vor und damit ist $R^G$ nach Fakt  (2) faktoriell.

Zur bewiesenen Aussage