Invariantenring/Endliche Gruppe/Kein Charakter in den Einheiten/Faktoriell/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass ${}F\in R^{G}$, ${}F\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Sei

${}F=F_{1}^{r_{1}}\cdots F_{n}^{r_{n}}\,$

die Zerlegung in ${}R$ in irreduzible Faktoren, wobei die ${}F_{i}$ paarweise nicht (in ${}R$) assoziiert seien. Für jedes ${}\sigma \in G$ ist dann auch

${}F=F\sigma ={\left(F_{1}\sigma \right)}^{r_{1}}\cdots {\left(F_{n}\sigma \right)}^{r_{n}}\,.$

Wegen der Faktorialität von ${}R$ muss diese Zerlegung mit der ursprünglichen Faktorzerlegung übereinstimmen, d.h. zu jedem ${}i$ gibt es ein ${}j$ und eine Einheit ${}a_{ij}\in R^{\times }$ mit

${}F_{i}\sigma =a_{ij}F_{j}\,.$

Es sei

${}\{1,\ldots ,n\}=\biguplus _{j\in J}I_{j}\,$

die disjunkte Zerlegung der Indexmenge, bei der zwei Indizes ${}i,j$ in der gleichen Teilmenge landen, wenn es ein ${}\sigma \in G$ gibt derart, dass

${}F_{i}\sigma$ und ${}F_{j}$ assoziiert sind. Wir setzen

${}H_{j}:=\prod _{i\in I_{j}}F_{i}\,.$

Insbesondere ist dann

${}F=\prod _{j\in J}H_{j}^{r_{j}}\,.$

Es ist

${}H_{j}\sigma ={\left(\prod _{i\in I_{j}}F_{i}\right)}\sigma =\prod _{i\in I_{j}}{\left(F_{i}\sigma \right)}=a_{j}(\sigma )\prod _{i\in I_{j}}F_{i}=a_{j}(\sigma )H_{j}\,$

mit einer (von ${}\sigma$ abhängigen) Einheit

${}a_{j}(\sigma )={\frac {H_{j}\sigma }{H_{j}}}\,.$

An dieser letzten Darstellung sieht man, dass die Zuordnung ${}G\longrightarrow R^{\times }$, ${}\sigma \longmapsto a_{j}(\sigma )$, ein Charakter ist. Nach Voraussetzung ist dieser also trivial, und damit sind die ${}H_{j}$ invariant. Somit ist

${}F=\prod _{j\in J}H_{j}\,$

eine Faktorzerlegung in ${}R^{G}$. Die ${}H_{j}$ sind dabei irreduzibel in ${}R^{G}$, da eine Faktorzerlegung

${}H=AB$ sofort zu einer Zerlegung von ${}H_{j}=\prod _{i\in I_{j}}F_{i}$ in Teilprodukte führt, die aber wegend er Wahl der ${}I_{j}$ nicht invariant sein können. Wenn ${}F=\prod _{\ell }A_{\ell }$ eine beliebige Zerlegung von ${}F$ in irreduzible Faktoren ${}A_{\ell }\in R^{G}$ ist, so sind die ${}A_{\ell }$, aufgefasst in ${}R$, Produkte gewisser ${}F_{i}$, und wegen der Wahl der ${}I_{j}$ wird ${}A_{\ell }$ sogar von einem ${}H_{j}$ (in ${}R$ und in ${}R^{G}$) geteilt. Es liegt also eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren vor und damit ist nach Fakt  (2) faktoriell.

Zur bewiesenen Aussage