Invariantenring/Konjugierte Untergruppen/Isomorph/Fakt/Beweis

Beweis

Die beiden Untergruppen seien vermöge ${}\tau \in G$ zueinander konjugiert, d.h. die Abbildung

$H\longrightarrow H',\,\sigma \longmapsto \tau ^{-1}\sigma \tau ,$

sei ein Gruppenisomorphismus. Wir betrachten den zu ${}\tau$ gehörenden Ringautomorphismus

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f\tau .$

Für ${}f\in R^{H}$ und ${}\sigma '\in H'$ mit ${}\sigma '=\tau ^{-1}\sigma \tau$ ist

${}(f\tau )\sigma '=(f\tau )(\tau ^{-1}\sigma \tau )=f\sigma \tau =f\tau \,,$

also liegt das Bild in ${}R^{H'}$. Da man die Rollen von ${}H$ und ${}H'$ vertauschen kann, liegt ein Isomorphismus vor.

Zur bewiesenen Aussage