Invariantenring/Konjugierte Untergruppen/Isomorph/Fakt/Beweis

Beweis

Die beiden Untergruppen seien vermöge  $\tau \in G$  zueinander konjugiert, d.h. die Abbildung

$H⟶H^{\prime },\sigma ⟼{\tau }^{-1}\sigma \tau ,$

sei ein Gruppenisomorphismus. Wir betrachten den zu $\tau$ gehörenden Ringautomorphismus

$R⟶R,f⟼f\tau .$

Für  $f\in R^H$  und  ${\sigma }^{\prime }\in H^{\prime }$  mit  ${\sigma }^{\prime }={\tau }^{-1}\sigma \tau$  ist

$(f\tau ){\sigma }^{\prime }=(f\tau )({\tau }^{-1}\sigma \tau )=f\sigma \tau =f\tau ,$

also liegt das Bild in $R^{H^{\prime }}$. Da man die Rollen von $H$ und $H^{\prime }$ vertauschen kann, liegt ein Isomorphismus vor.

Zur bewiesenen Aussage