Beweis
(1) ist klar.
(2). Die Voraussetzung bedeutet, dass man
mit gewissen
oder
schreiben kann.
Die Inklusion
ist nach (1) klar. Die Inklusion
ist wegen
-

klar.
(3). Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Es seien dazu
gegeben mit
.
Dann ist
-

Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für
und
ein
mit
.
Für
ist
-

und somit gehört
ebenfalls zu
. Wir haben also eine Abbildung
-
Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus
-
![{\displaystyle {}f([\sigma ][\tau ])=f[\sigma \tau ]=f(\sigma \tau )=(f\sigma )\tau =(f[\sigma ])\tau =(f[\sigma ])[\tau ]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb95902010f90b7965eea0f78b210c8bbbd84bd)
Es liegt also eine Operation von
auf
vor, und da die Elemente
identisch wirken, induziert dies eine Operation von
auf
. Bei den Abbildungen
handelt es sich um Ringautomorphismen, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf
handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von
ergibt.
Wir kommen zur Gleichheit
-

Zum Beweis der Inklusion
sei
.
Dann ist insbesondere
.
Wegen
ist
auch
- invariant. Zum Beweis der Inklusion
sei
.
Doch dann ist für
wiederum
.