Invariantenring/Untergruppe/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) ist klar.
(2). Die Voraussetzung bedeutet, dass man mit gewissen oder schreiben kann.

Die Inklusion ist nach (1) klar. Die Inklusion ist wegen

klar.
(3). Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Seien dazu gegeben mit . Dann ist

Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für und ein mit . Für ist

und somit gehört ebenfalls zu . Wir haben also eine Abbildung

Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus

Es liegt also eine Operation von auf vor, und da die Elemente identisch wirken, induziert dies eine Operation von auf . Bei den Abbildungen handelt es sich um Ringautomorphismen, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von ergibt.

Wir kommen zur Gleichheit

Zum Beweis der Inklusion sei . Dann ist insbesondere . Wegen ist auch - invariant. Zum Beweis der Inklusion sei . Doch dann ist für wiederum .