Invariantenring/Untergruppe/Fakt

Vergleichslemma für Invariantenringe

Es sei ${}R\times G\rightarrow R$ eine Operation einer Gruppe ${}G$ auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}R^{G}\subseteq R^{H}$.
2. Sind ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ Untergruppen in ${}G$ mit ${}G=H_{1}\cdot H_{2}$, so ist

   ${}R^{H_{1}}\cap R^{H_{2}}=R^{G}\,.$

3. Ist ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$, so operiert die Restklassengruppe ${}G/H$ auf ${}R^{H}$ durch

   ${}f[\sigma ]:=f\sigma \,.$

   Dabei ist

   ${}R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen