Invariantenring/Untergruppe/Fakt

Vergleichslemma für Invariantenringe

Es sei $R\times G\to R$ eine Operation einer Gruppe $G$ auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Es sei  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

1.  $R^G\subseteq R^H$. 
2. Sind $H_1$ und $H_2$ Untergruppen in $G$ mit  $G=H_1\cdot H_2$,  so ist

   $R^{H_1}\cap R^{H_2}=R^G.$

3. Ist $H$ ein Normalteiler in $G$, so operiert die Restklassengruppe $G/H$ auf $R^H$ durch

   $f[\sigma ]:=f\sigma .$

   Dabei ist

   $R^G={\left(R^H\right)}^{G/H}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen