Invariantentheorie/9 1/Fakt/Beweis

Beweis

(i) zur quadratischen Form gehört die symmetrische Matrix

\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{2}+\sum _{i<j}a_{ij}X_{i}Y_{j}

{\begin{pmatrix}a_{1}&&&&\\&\ddots &&{\frac {1}{2}}a_{ij}\\&{\frac {1}{2}}a_{ij}&&\ddots \\&&&&a_{n}\end{pmatrix}}

Hauptachsentransformationsatz Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.

(Anzahl der Nullen (in den Diagonalen?) bestimmt durch ${}n$ )

(ii) ??? quadratische Form nach (i) mittels ${}T\in GL_{n}(\mathbb {C} )$ auf die beschriebene Form bringen

1. Fall

${}X_{1}^{2}+\ldots +X_{k}^{2},\;k<n$

X_{n}\longmapsto {\frac {1}{(det\,T)}}X_{n}=T'

${}T'T\in SL_{n}(\mathbb {C} )$

2. Fall

X_{1}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}\longmapsto {\left({\frac {1}{(det\,T)}}\right)}^{2}X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}

X_{1}\longmapsto {\frac {1}{(det\,T)}}X_{1}.