Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Datensatz/Bemerkung

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Es sei ein beringter Raum und eine invertierbare Garbe auf . Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung und Trivialisierungen

gibt. Für offene Mengen ergeben sich auf die Übergangsabbildungen

Diese Isomorphien sind (vergleiche Aufgabe) durch (Multiplikation mit) Einheiten gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung , was man auch als schreiben kann. Ein solcher Datensatz legt durch eine Verklebung wiederum eine invertierbare Garbe fest. Wenn die invertierbare Garbe trivial ist, so gibt es einen globalen -Modulisomorphismus . Dann liegen auf den die Isomorphismen

vor, die insgesamt durch Einheiten festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung

für alle . Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten gegeben sind, so werden durch

Modulisomorphismen auf festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen und festlegen. Eine invertierbare Garbe kann man also mit dem Datensatz (mit den obigen Bedingungen, man spricht von einem Kozykel) identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten mit

gibt.