Invertierungsfunktion/C/Höhere Ableitungen/Taylorreihe/Fakt

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto z^{-1}.$

1. Die ${}n$-te Ableitung von ${}f$ ist

   ${}f^{(n)}(z)=(-1)^{n}n!z^{-n-1}\,.$

2. Die Taylorreihe von ${}f$ in ${}a\in {\mathbb {C} }^{\times }$ ist

   $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a^{-n-1}(z-a)^{n}.$

3. Der Konvergenzradius der Reihe aus (2) ist gleich ${}a$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen