Invertierungsfunktion/C/Höhere Ableitungen/Taylorreihe/Fakt/Beweis

Beweis

1. Der Induktionsanfang ist klar für ${}n=0$. Der Induktionsschluss ergibt sich durch

   ${}{\begin{aligned}f^{(n+1)}(z)&={\left(f^{(n)}(z)\right)}'\\&={\left((-1)^{n}n!z^{-1-n}\right)}'\\&=(-1)^{n}n!(-1-n)z^{-1-n-1}\\&=(-1)^{n+1}n!(n+1)z^{-1-(n+1)}\\&=(-1)^{n+1}(n+1)!z^{-1-(n+1)}.\end{aligned}}$

2. Der ${}n$-te Koeffizient der Taylorreihe ist gleich

   ${}c_{n}=(-1)^{n}{\frac {n!}{n!}}a^{-n-1}=(-1)^{n}a^{-n-1}\,.$

Zur bewiesenen Aussage