Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt/Beweis

Beweis

Aus (1) folgt (2). Wenn eine Isometrie vorliegt, und ${}u_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von ${}V$ ist, so ist

${}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,$

und somit ist ${}\varphi (u_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von ${}\varphi (V)$. Diese kann man zu einer Orthonormalbasis von ${}W$ ergänzen.

Von (2) nach (3) ist klar, da es Orthonormalbasen von ${}V$ gibt.

Von (3) nach (1). Es sei ${}u_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von ${}V$ mit der Eigenschaft, dass

$\varphi (u_{i}),\,i=1,\ldots ,n,$

Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist. Für zwei beliebige Vektoren ${}u=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$ und ${}v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}$ von ${}V$ ist dann

${}{\begin{aligned}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (u_{i}),\sum _{j=1}^{n}b_{j}\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{j}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{i}b_{i}\\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u,v\right\rangle ,\end{aligned}}$

es liegt also eine Isometrie vor.

Zur bewiesenen Aussage