Jordan-Matrix/2/i/Potenzen/Konvergenzverhalten/Aufgabe/Lösung

Es ist
${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&1\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n}&={\left({\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}^{n}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n}+n{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n-1}\circ {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n-1}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n-1}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }^{n-1}\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&n{\mathrm {i} }^{n-1}\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Der Eintrag rechts oben ${}n{\mathrm {i} }^{n-1}$ besitzt den Betrag ${}n$ und ist daher nicht beschränkt. Deshalb sind die Matrixpotenzen nicht beschränkt und somit auch nicht konvergent.