K^2/Graduierung/Operation/Bahnen/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P=(x,y)\in B$ ein von Nullpunkt verschiedener Punkt einer Bahn ${}B$. Sei ${}x\neq 0$. Wir setzen ${}d=1$ und

${}c:={\frac {y^{a}}{x^{b}}}\,.$

Somit ist unmittelbar ${}P\in V{\left(cX^{b}-Y^{a}\right)}$. Für ${}t\in K^{\times }$ ist

${}tP=\left(t^{a}x,\,t^{b}y\right)\,$

und

${}c{\left(t^{a}x\right)}^{b}-{\left(t^{b}y\right)}^{a}=t^{ab}{\left(cx^{b}-y^{a}\right)}=0\,,$

also

${}tP\in V{\left(cX^{b}-Y^{a}\right)}\,.$

Wenn umgekehrt ${}Q=(r,s)\in V{\left(cX^{b}-Y^{a}\right)}$ ein vom Nullpunkt verschiedener Punkt der Nullstellenmenge ist, so ist zunächst ${}r\neq 0$. Bei

${}c=0\,$

ist die Aussage klar, da die Bahn dann die ${}x$-Achse ohne den Nullpunkt ist. Andernfalls ist auch ${}y,s\neq 0$ und man hat die Beziehung

${}c{\frac {x^{b}}{y^{a}}}=1=c{\frac {r^{b}}{s^{a}}}\,$

bzw.

${}{\frac {r^{b}}{x^{b}}}={\frac {s^{a}}{y^{a}}}\,.$

Wegen der Teilerfremdheit gibt es ${}m,n\in \mathbb {N}$ mit ${}am+bn=1$. Mit

${}t:={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{m}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{n}\,$

ist

${}t^{a}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{am}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{an}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{am}{\left({\frac {r}{x}}\right)}^{bn}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{am+bn}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}x=r\,$

und entsprechend

${}t^{b}y={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{bm}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{bn}y={\left({\frac {s}{y}}\right)}^{am}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{bn}y={\left({\frac {s}{y}}\right)}^{am+bn}y={\left({\frac {s}{y}}\right)}y=s\,.$

Zur gelösten Aufgabe