K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt

Das Kreuzprodukt auf dem ${}K^{3}$ erfüllt die folgenden Eigenschaften (dabei sind ${}x,y,z\in K^{3}$ und ${}a,b\in K$).

1. Es ist

   ${}x\times y=-(y\times x)\,.$

2. Es ist

   ${}(ax+by)\times z=a(x\times z)+b(y\times z)\,$

   und

   ${}z\times (ax+by)=a(z\times x)+b(z\times y)\,.$

3. Es ist

   ${}x\times y=0\,$

   genau dann, wenn ${}x$ und ${}y$ linear abhängig sind.

4. Es ist

   ${}x\times (y\times z)+y\times (z\times x)+z\times (x\times y)=0\,.$

5. Es ist

   ${}\left\langle x\times y,z\right\rangle =\det(x\,,y\,,z)\,,$

   wobei hier mit ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die formale Auswertung im Sinne des Standardskalarproduktes gemeint ist.

6. Es ist

   ${}\left\langle x,x\times y\right\rangle =0=\left\langle y,x\times y\right\rangle \,,$

   wobei hier mit ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die formale Auswertung im Sinne des Standardskalarproduktes gemeint ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen