Beweis
(1) ist klar von der Definition her.
(2). Es ist

Die zweite Gleichung folgt daraus und aus (1).
(3). Wenn
und
linear abhängig sind, so kann man
(oder umgekehrt)
schreiben. Dann ist
-

Wenn umgekehrt das Kreuzprodukt
ist, so sind alle Einträge des Vektors
gleich
. Es sei beispielsweise
.
Wenn
,
so folgt direkt
-

und
wäre der Nullvektor. Es sei also
.
Dann ist
und
und somit ist
-

(4). Siehe
Aufgabe.
(5). Es ist

was mit der Determinante
wegen der Regel von Sarrus
übereinstimmt.
(6) folgt aus (5).