K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) ist klar von der Definition her.

(2). Es ist

Die zweite Gleichung folgt daraus und aus (1).

(3). Wenn und linear abhängig sind, so kann man (oder umgekehrt) schreiben. Dann ist

Wenn umgekehrt das Kreuzprodukt ist, so sind alle Einträge des Vektors gleich . Sei beispielsweise . Wenn , so folgt direkt

und wäre der Nullvektor. Sei also . Dann ist und und somit ist

(4). Siehe Aufgabe.

(5). Es ist

was mit der Determinante wegen der Regel von Sarrus übereinstimmt.

(6) folgt aus (5).

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