K^n/Basis/Eindeutige Darstellung der 0/Gleichungssystem/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (3) sind äquivalent, da (3) lediglich eine ausgeschriebene Version von (1) ist. Die Implikation von (1) nach (2) ist klar, da die eindeutige Darstellbarkeit insbesondere für den Nullvektor gilt. Für die Umkehrung sei

${}w=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}=\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}\,$

angenommen. Dann ist direkt

${}0=w-w=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}-\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}=\sum _{j=1}^{n}(s_{j}-t_{j})v_{j}\,.$

Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit der ${}0$ muss ${}s_{j}-t_{j}=0$, also ${}s_{j}=t_{j}$ für alle ${}j$ sein.

Zur bewiesenen Aussage