K^n/Basis/Eindeutige Darstellung der 0/Gleichungssystem/Fakt

Charakterisierungssatz für Basen im ${}K^{m}$

Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Die Vektoren bilden eine Basis des ${}K^{m}$.
2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ${}v_{j}$ ist die triviale Darstellung

   ${}0=0\cdot v_{1}+\cdots +0\cdot v_{n}\,.$

3. Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}=K^{m}$ besitzt das lineare Gleichungssystem

   ${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$

   eine eindeutige Lösung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen