K^n/Basis/Eindeutige Darstellung der 0/Gleichungssystem/Fakt

Charakterisierungssatz für Basen im $K^m$

Es seien $v_1=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right),\dots ,v_n=\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right)$ Vektoren im $K^m$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. Die Vektoren bilden eine Basis des $K^m$.
2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des $K^m$, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der $v_j$ ist die triviale Darstellung

   $0=0\cdot v_1+\cdots +0\cdot v_n.$

3. Für jedes  $w=\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ ⋮\\ w_m\end{array}\right)\in K^m$  besitzt das lineare Gleichungssystem

   $s_1\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right)+s_2\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right)+\cdots +s_n\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ ⋮\\ w_m\end{array}\right)$

   eine eindeutige Lösung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen