K^n/Bilinearformen/Vorgabe/Spezialfälle/Beispiel

Sei ${}V=K^{n}$ und seien ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i,j\leq n$ fixiert. Dann ist die Zuordnung

$({\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}})\longmapsto \Psi (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})=\sum _{ij}a_{ij}x_{i}y_{j}$

eine Bilinearform. Bei

${}a_{ij}=0\,$

für alle ${}i,j$ ist dies die Nullform; bei

${}a_{ij}=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

liegt das Standardskalarprodukt vor (wobei der Ausdruck für jeden Körper einen Sinn ergibt, aber die Eigenschaft, positiv definit zu sein, gegenstandslos ist). Bei ${}n=4$ und

${}\Psi (x_{1},\ldots ,x_{4},y_{1},\ldots ,y_{4})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}\,$

spricht man von einer Minkowski-Form. Bei ${}n=2$ und

${}\Psi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\,$

handelt es sich um die Determinante im zweidimensionalen Fall.