Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und seien ${}a,b\in R$ zwei teilerfremde Elemente. Dann kann man die ${}1$ als Linearkombination von ${}a$ und ${}b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$.
2. Bei einer ${}D$-graduierten Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

   $D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K),\,\chi \longmapsto (a_{d}\mapsto \chi (d)a_{d}),$

   der Charaktergruppe

   von ${}D$ in die Galoisgruppe der Körpererweiterung.
3. Bei einer endlichen normalen Körpererweiterung sind zwei Elemente ${}x,y\in L$ genau dann konjugiert, wenn es einen ${}K$-Automorphismus ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ mit ${}\varphi (x)=y$ gibt.

Zur gelösten Aufgabe