Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Der Kern zu einem Ringhomomorphismus ist ein Ideal.
2. Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
   1. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist eine Galoiserweiterung.
   2. Es ist ${}\operatorname {Fix} \,(G)=K$.
   3. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist normal und separabel.
   4. ${}L$ ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms ${}F\in K[X]$.
3. Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome liegen in ${}\mathbb {Z}$.

Zur gelösten Aufgabe