Körper/Binomi/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion nach $n$ . Für $n = 0$ steht einerseits $(a + b)^{0} = 1$ und andererseits $a^{0} b^{0} = 1$ . Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist

\begin{matrix} (a + b)^{n + 1} & = (a + b) (a + b)^{n} \\ = (a + b) (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}) \\ = a (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}) + b (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k + 1} \\ = \sum_{k = 1}^{n + 1} (\binom{n}{k - 1}) a^{k} b^{n - k + 1} + \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k + 1} \\ = \sum_{k = 1}^{n + 1} ((\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k})) a^{k} b^{n + 1 - k} + b^{n + 1} \\ = \sum_{k = 1}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} + b^{n + 1} \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} . \end{matrix}

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