Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt/Beweis

Beweis

Die eine Richtung ist klar. Für die Rückrichtung sei  $\zeta \in K$  eine primitive $n$-te Einheitswurzel. Dies definiert einen Einsetzungshomomorphismus

$\mathbb{Q}[X]/(X^n-1)⟶K,X⟼\zeta .$

Somit gibt es nach Fakt einen induzierten Ringhomomorphismus

$\mathbb{Q}[X]/\left({\mathrm{\Phi }}_d\right)⟶K$

mit einem Teiler $d$ von $n$. Doch dann gibt es auch einen Ringhomomorphismus

$\mathbb{Q}[X]/(X^d-1)⟶K,X⟼\zeta .$

Bei  $d<n$  ist dies ein Widerspruch zur Ordnung von $\zeta$. Also ist  $d=n$  und es gibt einen Ringhomomorphismus

$K_n=\mathbb{Q}[X]/\left({\mathrm{\Phi }}_n\right)⟶K.$

Zur bewiesenen Aussage